Question

高中向量问题

已知O是平行四边形ABCD所在平面上一点，记向量OA=向量a，向量OB＝向量b，向量OC＝向量c，向量OD＝向量d，E在BA上且BE：EA＝1：3，F在BD上，且BF：FD＝1：4，用向量a，向量b，向量c，向量d分别表示向量OE，向量OF，向量EF，向量EC，并判断E F C三点是否共线

Answer 1

~BA=~OA-~OB=a-b
~EA=3/4~BA
~OE=0A-EA=a-3/4(a-b)=1/4a+3/4b
OF=0B-FB=0B-1/5DB=OB-1/5(b-d)=4/5b+1/5d
EF=OF-OE=1/20b-1/4a+1/5d
EC=OC-OE=c-1/4a-3/4b
a-b=d-c
EC=d+b-a-1/4a-3/4b=d+1/4b-5/4a=5(1/20b+1/5d-1/4a)=5EF,所以三点共线

Answer 2

向量AB=b-a,向量AE=3/4（b-a),
所以向量OE=a+3/4（b-a)=1/4a+3/4b

向量BD=d-b,向量BF=1/5（d-b）
所以向量OF=b+1/5（d-b）=4/5b+1/5d

向量EB=3/4（b-a),向量BF=1/5（d-b）
所以向量EF=3/4（b-a)+1/5（d-b）=1/5d+11/20b-3/4a

向量EC=c-1/4a-3/4b

向量c=d+b-a
向量EC=d+b-a-1/4a-3/4b=d+1/4b-5/4a
E F C三点不共线

Answer 3

以下字母代表向量
OE = 0.75*(OB-OA)+OA = 0.75*OB+0.25*OA = 0.75b+0.25a;
OF = 0.8*(OB-OD)+OD = 0.8*OB+0.2*OD = 0.8b+0.2d;
EF = OE-OF = -0.05*OB+0.25*OA-0.2*OD = -0.05b+0.25a-0.2d;
EC = OE-OC =0.75b+0.25a-c;
又因为：是平行四边形，所以：c=b-a+d;
则：EC = -0.25b+1.25a-d；
EC/EF = 5 所以 共线；
计算完成；