Question

已知三棱锥P-ABC中,PC垂直底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点，DE垂直AP于E。

已知三棱锥P-ABC中,PC垂直底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点，DE垂直AP于E。
（1） 求证：AP垂直平面BDE
（2） 求证：平面BDE垂直平面EDF
（3） 若AE：EP＝1：2，求截面BEF分三凌锥P－ABC所成两部分的体积比。
怎么把图放上来？

Answer 1

1、因为AB=BC，D为AC中点，所以BD垂直AC；因为PC垂直底面ABC，所以PC垂直BD；所以BD垂直于平面APC；所以AP垂直BD
2、平面EDF即平面APC，如1中所说：BD垂直于平面APC。所以平面BDE垂直平面EDF
3、高相同，底面积之比为4：5，所以体积比为4：5

Answer 2

(1)证明：∵PC⊥底面ABC,BD被包含在平面ABC内,
∴PC⊥BD.
由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.
又PA被包含在平面PAC内,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,
∴AP⊥平面BDE.
(2)证明：由BD⊥平面PAC,DE被包含在平面PAC内,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF∥AP.
由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF.BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.
又∵DE被包含在平面BDE内,∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2,则h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
∴Vp-EDF/Vp-ABC=Vp-PBF/Vp-PBC=(1/3×h1×S△PBF）/（1/3×h2×S△PBC）=3/（3×2）=1/2
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1.