Question

y=sinx^2为什么不是周期函数

Answer 1

假设y的周期为t，则任取x，有

sin(x+t)^2=sinx^2

(x+t)^2=x^2+2kπ

2tx=2kπ-t^2，这里k为整数

这个式子左边随x连续变化，右边只取k为整数时的离散的值

所以左右不可能相等

所以假设错误，此函数不是周期函数

性质

周期函数的性质共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

Answer 2

假设y=f(x)=sinx²是周期函数，周期为T，则有
f(x+T)=sin(x+T)²=f(x)=sinx²,对于x∈R的任意值均成立
令x=0
sinT²=sin0=0
∴T²=kπ k≠0
T=√kπ
f(x+√kπ)=sin(x²+2√kπ·x+kπ)=±sin(x²+2√kπ·x),显然不恒等于sin(x²)，与假设矛盾。
∴y=sinx²不是周期函数

Answer 3

反证法：假设y的周期为t，则任取x，有
sin(x+t)^2=sinx^2
(x+t)^2=x^2+2kπ
2tx=2kπ-t^2，这里k为整数
这个式子左边随x连续变化，右边只取k为整数时的离散的值
所以左右不可能相等
所以假设错误，此函数不是周期函数

Answer 4

如果函数y=f(x)是周期为T≠0的函数，那么f(x+T)=f(x);
函数f(x)=sinx²不存在那样的T≠0，能使得sin(x+T)²=sin(x²+2Tx+T²)=sinx².
故y=sinx²不是周期函数。