Question

设y1, y2, y3都是微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解，且(y1-y2)/

设y1, y2, y3都是微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解，且(y1-y2)/设y1, y2, y3都是微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解，且(y1-y2)/(y2-y3)≠常数，则该微分方程的通解为？？？
此为选择题，答案是y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3是怎么解法？

Answer 1

你能把其他选项都贴上来吗？我有一个解法，听上去有点绕的。
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解这个题之前，我们得知道，每一个二阶的微分方程对应有两个 通解对吧。
y=通解1+通解2；
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正式开始解题，由已知(y1-y2)/(y2-y3)≠常数(下面用C代表常数)，我们可以推算出
y1-y2≠常数*(y2-y3)；
或者这么写吧，更好看一点，
C1（y1-y2）≠C2*（y2-y3）；
那么好了，答案就是y=C1（y1-y2）+C2*（y2-y3）=C1*y1+(-C2)*y3+(C2-C1)*y2；
你看看每个选项，我估计没有这样的标准答案，但是没事，因为本身y1，y2，y3在这个公式里就能互换，我们同样可以写出这样的答案
y=C1y1+(-C2)y2+(C2-C1)y3
把-C2令做C2
得到y=C1y1+C2y2-(C2+C1)y3
再看看每个选项的答案，只有y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3包含了上述公式，虽然多出来一个y3，但是没关系啊，因为本身y3也是这个微分方程的解，所以我们选这个答案咯。
如果你不理解可以追问，这个方法确实很绕。