Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),A为左顶点,B为短轴一顶点，F为右焦点，且向量AB⊥向量BF···

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),A为左顶点,B为短轴一顶点，F为右焦点，且向量AB⊥向量BF，则此椭圆的离心率为？？
求详细过程~急呀！

Answer 1

解：|AB|^2=|BO|^2+|AO|^2=a^2+b^2
|BF|^2=|BO|^2+|OF|^2=b^2+c^2
|AF|^2=(|OF|+|OA|)^2=(c+a)^2
向量AB⊥向量BF,即
|AB|^2+|BF|^2=|AF|^2
a^2+b^2+b^2+c^2=(c+a)^2
a^2+2(a^2-c^2)+c^2=a^2+2ac+c^2
c^2+ac-a^2=0
e^2+e-1=0
e=(√5-1)/2或e=（-√5-1)/2（舍去）
所以e=(√5-1)/2

Answer 2

∵∠AOF=∠AOB=90（O为原点）
∠BAF=∠OBF
∴三角形AOB∽三角形BOF
∴OB/OA=BF/OB
所以b/a=c/b
∴b^2=ac
所以a^2-c^2=ac
∴(c/a)^2+c/a-1=0
所以离心率e=c/a=（（根号5）-1）/2