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解：由tanα-（1/cosα）=（sinα-1）/cosα=-√3 <0 ，sinα-1<0 得
sinα+√3cosα=1 ……（1）
cosα>0 ……（2）
则cosα/(sinα+1)=cosα/（2sinα+√3cosα） =1/（2tanα+√3），
只需解出tanα的值即可
由（1）式得2sin（α+π/3）=1 解得α+π/3=π/6+2kπ 或者α+π/3=5π/6+2kπ
解得α=-π/6+2kπ 或者 α=π/2+2kπ （k=0，1……）
由（2）式得-π/2+2kπ<α<π/2+2kπ
综合这两个条件得到α=-π/6 ，tanα= -√3 /3……（3）
将（3）代入cosα/(sinα+1)=1/（2tanα+√3）得到原式=√3
sinα+√3cosα=1 ……（1）
cosα>0 ……（2）
则cosα/(sinα+1)=cosα/（2sinα+√3cosα） =1/（2tanα+√3），
只需解出tanα的值即可
由（1）式得2sin（α+π/3）=1 解得α+π/3=π/6+2kπ 或者α+π/3=5π/6+2kπ
解得α=-π/6+2kπ 或者 α=π/2+2kπ （k=0，1……）
由（2）式得-π/2+2kπ<α<π/2+2kπ
综合这两个条件得到α=-π/6 ，tanα= -√3 /3……（3）
将（3）代入cosα/(sinα+1)=1/（2tanα+√3）得到原式=√3
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