Question

如图，要建立一个形状是直角梯形的存料场，其中有两个邻边借用夹角为120度的两面墙，另外两边是总长为30m

如图，要建立一个形状是直角梯形的存料场，其中有两个邻边借用夹角为120度的两面墙，另外两边是总长为30m的篱笆，篱笆两边各是多少时，存料场的面积最大？
如图，要建立一个形状是直角梯形的存料场，其中有两个邻边借用夹角为120度的两面墙，另外两边是总长为30m的篱笆，篱笆两边各是多少时，存料场的面积最大？

角ADC120度，角C和角B是直角

Answer 1

如图：

已知直角梯形ABCD ∠B=90°，∠ADC=120°，AB+BC=30

求梯形ABCD面积的最大值.

解：做DE⊥AB，交AB于E

∵直角梯形ABCD，∠ADC=120°

∴∠A=60°

∴DE=BC，AE=DEcot60°=√3DE/3=√3BC/3=

∵AB=AE+EB=EB+√3BC/3 =CD+√3BC/3     (1)

又∵AB+BC=30

∴AB=30-BC                                     (2)

由(1)(2)得

30-BC=CD+√3BC/3

CD=30-BC-√3BC/3

直角梯形ABCD的面积=BC(AB+CD)/2

=BC(30-BC+30-BC-√3BC/3)/2

=BC[60-(6+√3)BC/3]/2

=-(6+√3)BC²/6+30BC

关于BC的二次函数，当BC=30/2[(6+√3)/6]=90/(6+√3)时，取得最大值

此时AB=30-90/(6+√3)