Question

高二数学（抛物线）

已知抛物线的顶点在原点，焦点为F（-3，0），设A（a,0),与抛物线上的点的距离的最小值d=f(a),求f(a)的表达式

Answer 1

该抛物线开口向左，p=6,其方程为y^2=-2px=-12x.因为点A在y=0的轴上，且抛物线沿y=0对称。所以可研究抛物线上半部分。抛物线上上半部分任一点的坐标为(x,√-12x).
A与抛物线上的点的距离=√[(a-x)^2 +(0-√-12x)^2 ]
=√[(a-x)^2 -12x]
=√[(a^2-2ax+x^2 -12x ]
=√[a^2-2(a+6)x+x^2 ]
=√{[x-(a+6)]^2+a^2 –(a+6)^2}
=√{[x-(a+6)]^2-12a-36}
所以当x-(a+6)=0，即x=a+6时，A与抛物线上的点有最小距离 √（-12a-36）
因为x<=0,则a=x-6<=-6
所以f(a)= √（-12a-36），(a<=-6)