Question

f(x)=-x^3+ax^2+bx+c,在(-∞，0）上是减函数，在（0，1）是增函数，f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零

f(x)=-x^3+ax^2+bx+c,在(-∞，0）上是减函数，在（0，1）是增函数，f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点。（1）求b的值，（2）求f(2)的取值范围。（3）是探究y=x-1与y=f(x)的图像的交点情况

Answer 1

(1)f'(x)=-3x^2+2ax+b,在(-∞，0）上是减函数，在（0，1）是增函数=>0是f'(x)的零点
=>b=0,
f'(x)=-3x^2+2ax+b=-3x^2+2ax,在（0，1）是增函数=>另一个解是x=2a/3≥1=>a≥3/2
f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点。=>-1+a+c=0=>a+c=1
(2)f(2)=-8+4a+c=-7+3a≥-5/2
(3)1是其中一个零点=>f(x)=(x-1)(rx^2+sx+t)=-x^3+ax^2+1-a =>r=-1,s=t=a-1
所以f(x)=(x-1)(-x^2+(a-1)x+a-1)
y=x-1与y=f(x)的图像的交点情况就是方程的解的个数，y=f(x)联立得
(x-1)(-x^2+(a-1)x+a-2)=0
判断二次方程的△=(a-1)^2+4(a-2)=(a+1)^2-10
所以a＞-1+10^0.5时有三个交点
a=-1+10^0.5时有两个交点
3/2<a<-1+10^0.5时有一个交点
x=1始终是交点