Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC中点，

（1）如图一，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH垂直FC，交直线AB于点H，判断FH与FC的数量关系并加以证明。
（2）如图二，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化，直接写出你的结论，不必证明
这就是

Answer 1

证明：延长DF交AB于点G

∠CDG=∠ACB=90

DG‖BC

DG为中位线

DG=1/2BC=1/2AC(AB=AC)

DC=1/2AC

DG=DC

DF=DE

DG-DF=DC-DE

FG=EC(1)

∠CDG=90,DE=DF

∠DEF=∠DFE=45

∠CEF=180-∠DEF=135

同理∠DGH=135

所以∠DGH=∠CEF(2)

∠1+∠CFD=90

∠2+∠CFD=90

所以∠1=∠2(3)

由（1）（2）（3）

△CEF≌△FGH

CF=FH

注：∠1=∠DCF,∠2=GFH

(2)结论不变，CF=FH 

简单证明一下

设AH交DF于点K

由（1）我们很容易知道∠E=∠HKF=45度(1)

DE=DF

DC=AD=DK

所以CE=KF(2)

DF平行BC

∠DFC=∠BCF

∠CFH=∠BCE=90

∠DFC+∠CFH=∠BCE+∠BCF

∠ECF=∠KFH(3)

由（1）（2）（3）

△CEF≌△FGH(ASA）

CF=FH

Answer 2

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC＝
1
2
AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG＝
1
2
BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．

（2）FH与FC仍然相等．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．

Answer 3

解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．
证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC=1/2AC,
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG=1/2BC
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．

Answer 4

证明：延长DF交AB于点G
∠CDG=∠ACB=90
DG‖BC
DG为中位线
DG=1/2BC=1/2AC(AB=AC)
DC=1/2AC
DG=DC
DF=DE
DG-DF=DC-DE
FG=EC(1)
∠CDG=90,DE=DF
∠DEF=∠DFE=45
∠CEF=180-∠DEF=135
同理∠DGH=135
所以∠DGH=∠CEF(2)
∠1+∠CFD=90
∠2+∠CFD=90
所以∠1=∠2(3)
由（1）（2）（3）
△CEF≌△FGH
CF=FH
注：∠1=∠DCF,∠2=GFH
(2)结论不变，CF=FH
简单证明一下
设AH交DF于点K
由（1）我们很容易知道∠E=∠HKF=45度(1)
DE=DF
DC=AD=DK
所以CE=KF(2)
DF平行BC
∠DFC=∠BCF
∠CFH=∠BCE=90
∠DFC+∠CFH=∠BCE+∠BCF
∠ECF=∠KFH(3)
由（1）（2）（3）
△CEF≌△FGH(ASA）
CF=FH