已知f(x)在[-1,1]连续,且满足f(x)=3x-∫(0,1)f²(x)dx,求f(x)怎么做?
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解：
由已知等式，令f(x)=3x+k
3x+k=3x-∫[0：1](3x+k)²dx
k=-∫[0：1](9x²+6kx+k²)dx
=-(3x³+3kx²+k²x)|[0：1]
=-[(3·1³+3k·1²+k²·1)-(3·0³+3k·0²+k²·0)]
=-k²-3k-3
k²+4k+3=0
(k+1)(k+3)=0
k=-1或k=-3
函数f(x)的解析式为f(x)=3x-1或f(x)=3x-3
由已知等式，令f(x)=3x+k
3x+k=3x-∫[0：1](3x+k)²dx
k=-∫[0：1](9x²+6kx+k²)dx
=-(3x³+3kx²+k²x)|[0：1]
=-[(3·1³+3k·1²+k²·1)-(3·0³+3k·0²+k²·0)]
=-k²-3k-3
k²+4k+3=0
(k+1)(k+3)=0
k=-1或k=-3
函数f(x)的解析式为f(x)=3x-1或f(x)=3x-3
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