Question

求函数f(x)=(2sin^2x-3sinx)/(2sinx+3)^2的值域

Answer 1

求函数f(x)=(2sin²x-3sinx)/(2sinx+3)²的值域。

f(x)=(2sin²x-3sinx)/(2sinx+3)²=(2sin²x-3sinx)/ (4sin²x+12sinx+9)
=[(2sin²x+6sinx+9/2)-9 sinx-9/2]
=1/2-(9 sinx+9/2)/ (4sin²x+12sinx+9)
=1/2-9/2•(2sinx+1) / (4sin²x+12sinx+9)

设2sinx+1=t∈[-1,3], sinx=(t-1)/2.
设m=(2sinx+1) / (4sin²x+12sinx+9)=t/(t²+4t+4)

当t=0时，m=0.

当0<t≤3时，m= 1/(t+4/t+4)
t+4/t≥2√(t•4/t)=4，∴0<m≤1/8.

当-1≤t <0时，t+4/t≤-5 ，t+4/t+4≤-1.
∴-1≤m<0.
综上可知：-1≤m≤1/8.

f(x)= =1/2-9/2•m,
∴函数f(x)的值域为[-1/16,5].

Answer 2

看图！