Question

一动圆过定点A(-√2,0)且与定圆(X-√2)^2+Y^2=12相切

（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程 （2）过点P（0，2）的直线L与轨迹M交于不同两点E,F，求向量PE*向量PF的取值范围
要具体求解过程，谢谢！！！！！！！！！！

Answer 1

（1）由题意得，定圆（X-√2）^2+Y^2=12的圆心B（√2，0），半径2√3，由于点A（-√2，0）与点B的距离2√2小于半径2√3，且根据题意动圆过点A且与定圆相切，所以只能是动圆在定圆中，设动圆的圆心O，点O到点A和点O到点B的距离和等于定圆的半径2√3，那么动圆的方程是
（x＾2）／3＋b＾2＝1（即椭圆方程）

（2）设过点P（0，2）直线x＝k（y－2）……（1）
椭圆曲线（x^2）/3＋b^2＝1……（2）
设点E（x1，y1），F（x2，y2）
联立（1）（2）得
（k^2＋3）（y^2）－4（k^2）y＋（4k^2-3）＝0
△=16k^4-4（k^2＋3）（4k^2-3）>0，得k^2∈[0,1）
且y1+y2=4k^2/（k^2＋3），y1?y2=（4k^2-3）/（k^2＋3）

向量PE=（x1，y1-2）=（k（y1-2）, y1-2），向量PF=（k（y2-2）, y2-2）
PE?PF=（k^2＋1）（y1-2）（y2-2）=9（k^2＋1）/（k^2＋3）
=9-18/（k^2＋3）
由于k^2∈[0,1），得9-18/（k^2＋3）∈[3,9/2）
即向量PE乘向量PF的取值范围[3,9/2）