Question

高中数学 均值不等式

这是几道高一的竞赛题，麻烦大家帮我解答一下，最好有详细过程

Answer 1

第一题：设a=log1./2(x) b=log1/2(y)那么ab=1
x=1/2^a,y=1/2^b
xy=1/2^(a+b)因为2^(a+b)设递增的函数,,而根据x>=y>1知a,b<0,1/2^(a+b)=2^[(-a-b)]
因为-a+(-b)>=2sqrt(ab)=2所以1/2^(a+b)=2^[(-a-b)]>=2^2=4
第二题:

由均值不等式:1/x+1/y>=4/(x+y)等价于(x-y)^2>=0得到:1/(a-b)+1/(b-c)>=4/[(a-b)+(b-c)]=4/(a-c)
再用一次均值4/x+1/y>=9/(x+y)等价于(x-2y)^2>=0得到:4/(a-c)+1/(c-d)>=9/[(a-c)+(c-d)]=9/(a-d)
所以n<=9
第三题：运用均值不等式有|xy|<=(x^2+y^2)/2得到1=x^2+y^2-xy>=2|xy|-xy当xy>=0时xy<=1
x^2+y^2=1+xy<=2
当xy<=0时1>=2|xy|-xy=-3xy得到xy>=-1/3而x^2+y^2=1+xy>=1-1/3=2/3
第四题:设P=asqrt(2+b^2)那么
P^2=a^2(2+b^2)=1/6(2a^2)(6+3b^2)<=1/6[(2a^2+6+3b^2)/2]^2
得到-7/(2根号6)<=P<=7/(2根号6)

第五题:容易得到要证(4x+y)/(xy)>=m
即：m<=(4x+y)(x+y)/(4xy)=[(x/y)+(4y/x)+5]/4
而[(x/y)+(4y/x)+5]/4
>=[2*根号(x/y*4y/x)+5]/4=9/4
所以m<=9/4

Answer 2

1、log(1/2)y=1/log(1/2)x=log(1/2)(1/2)/log(1/2)x=log(1/2)[(1/2)-x]
即y=(1/2)-x即x+y=1/2
xy≤[(x+y)/2]^2=1/16
填： 大 1/16
2、
因为a>b>c>d所以差值最大的是a-d
左式≥3√{[1/(a-b)][1/(b-c)][1/(c-d)]}
下面全换最大变最小，此时n=3
3、
1=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy即xy≤1
则x^2+y^2=1+xy≤2为最大值
设x=acost,y=asint
左式x^2-xy+y^2=a^2-(a^2/2)sin2t=1
右式=a^2
a^2=2/(2-sin2t)，sin2t取-1时最小值为2/3
4、
a√(2+b^2)≤[(a^2+b^2)/2]+1
又2a^+3b^2=2(a^2+b^2)+b^2=1
得a^2+b^2=(1-b^2)/2代入第一式
得[(1-b^2)/4]+1因b^2≥0
所以原式≥5/4
5、
因为x,y都是正数，所以乘除根号都可以，
由4x+y≥mxy两边除xy可得4/y + 1/x ≥ m
再有x+y=4两边除4得x/4 + y/4=1
4/y + 1/x=(4/y + 1/x)(x/4 + y/4)
=x/y + y/4x +5/4≥9/4
m最大为9/4

Answer 3

（1）小=4。（2）m大=9。（3）小=2/3.大=2。（4）7/(2√6).(5).(4√2)-4.

Answer 4

我表示题目太多，打字很麻烦。。。有空可以hi我，我教你一些