Question

在正三棱锥A-BCD中，角BAC=120，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点。

在正三棱锥A-BCD中，角BAC=30，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点。
（1）试判断四边形的形状并说明判断理由；
（2）设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC垂直平面EFGH？请说明理由。

Answer 1

1、这是线面平行的判定和性质的问题。可以证明EF平行AD，GH平行AD，所以就有EF平行GH。同理，EH、FG都与BC平行，则EH与FG平行，所以四边形EFGH为平行四边形。
2、只要保证PB垂直EF，且PC垂直GH就可以了。考察侧面三角形ACD，有当AP=2分之(根号3)a时，有平面PBC垂直平面EFGH。