Question

u=f（ux,v+y）,v=g（u-v,v²y）,f,g具有一阶连续偏导数,求δu/δx

δu/δx
=f1' *δ(ux)/δx + f2' *δ(v+y)/δx
对ux求导和对v+y求导难道不一样吗，为什么要用不同符号f1'和f2'

Answer 1

求偏导数就把别的参数看作常数即可
δu/δx
=f1' *δ(ux)/δx + f2' *δ(v+y)/δx
=f1' * x*δu/δx +f1' *u + f2' *δv/δx
而
δv/δx
=g1' *δ(u-v)/δx +g2' *δ(v²y)/δx
=g1' *(δu/δx- δv/δx) + 2vy *g2' *δv/δx
于是得到方程组
(1- x *f1')δu/δx - f2' *δv/δx=f1' *u
g1' *δu/δx -(1+g1'-2vy*g2') *δv/δx=0
那么解一元二次方程组得到，
δu/δx
= - f1' *u * (1+g1'-2vy*g2') / [f2' *g1' -(1- x *f1') *(1+g1'-2vy*g2')]

δv/δx
= - f1' *u *g1' / [f2' *g1' -(1- x *f1') *(1+g1'-2vy*g2')]

Answer 2

解：
分析：f'1表示的是对f函数的第一个元素求导，比如你比较f(x,y)中的f'x和f(x+y,xy)中的f'1，这当然不一样了！
∂u/∂x
=f'1·[(∂u/∂x)x+u]+f'2·(∂v/∂x)
=xf'1[(∂u/∂x)+uf'1+f'2·(∂v/∂x)
∂u/∂x
=[uf'1+f'2·(∂v/∂x)]/(1-xf'1)
∂v/∂x
=g'1·[(∂u/∂x)-(∂v/∂x)]+g'2·[2vy(∂v/∂x)]
∂v/∂x
=g'1[(∂u/∂x)/(1+g'1-2vyg'2)
∂u/∂x
={uf'1+f'2·[g'1(∂u/∂x)/(1+g'1-2vyg'2)]}/(1-xf'1)
=[uf'1·(1+g'1-2vyg'2)+f'2g'1(∂u/∂x)]/(1-xf'1)(1+g'1-2vyg'2)
∂u/∂x
=[uf'1·(1+g'1-2vyg'2)]/[(1-xf'1)(1+g'1-2vyg'2)-f'2g'1]

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示