Question

数学问题 高手进

已知⊙A：(x+2)2+y2=25/4 ,⊙B：(x-2)2+y2=1/4 ,动圆P与⊙A、⊙B都外切.
⑴求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围；
(3)若直线l垂直平分(2)中的弦P1P2，求l在y轴上的截距b的取值范围.

Answer 1

圆P的圆心到圆A、圆B的距离之差为定值，所以它的轨迹是双曲线。a=1,c=2，双曲线方程为：x^2-y^2/3=1。。。。接下来联立方程组吧，得(3-k^2)x^2-2kx-4=0。让判别式大于零，得k^2<4，-2<k<2。。。由韦达定理得弦中点横纵坐标x0=k/(3-k^2) ，y0=3/(3-k^2)。还有中垂线的斜率为-1/k，由点斜式并令x=0得纵截距b=4/(3-k^2)。上一解出k^2<4,还要注意k^2>=0，解出b>4/3或b<-4。。。在圆锥曲线题中，它的计算量不大，别偷懒哦！。。。

Answer 2

1. 动圆圆心P(x,y) ||PA|-|PB||=5/2-1/2=2,双曲线定义，动圆圆心P的轨迹为双曲线，c=2，a=1,
轨迹方程为
2. 联立y=kx+1和x^2-y^2/3=1，整理得(3-k^2)x^2-2kz-4=0, 判别式=4k^2+16(3-k^2)>0
-2<k<2
3. x1+x2=2k/(3-k^2) y1+y2=k(x1+x2)+2=2k^2/(3-k^2) +2
直线l：y-[k^2/(3-k^2) +1]=-1/k(x-k/(3-k^2)) 整理得
y=-1/k*x+4/(3-k^2) b=4/(3-k^2) -2<k<2 b>=4/3或，<=-4