求过点（0,2）的直线被椭圆X2 +2Y2 =2所截弦的中点的轨迹方程。
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设直线：x=m(y-2),截弦的中点（x0,y0),代入椭圆方程：
(m^2+2)y^2-4m^2y+4m^2-2=0;由判别式得：m^2<2/3;
韦达定理：2y0=y1+y2=4m^2/(m^2+2)...(1),2x0=x1+x2=m(y1+y2)-4m=-8m/(m^2+2)...(2)
(1)/(2):y0/x0=-m/2,m=-2y0/x0代入（2）式：x0^2/8+(y0-2)^2/4=1,为一平移后的椭圆；由（2）式得定义域：（-√6/2，√6/2）
(m^2+2)y^2-4m^2y+4m^2-2=0;由判别式得：m^2<2/3;
韦达定理：2y0=y1+y2=4m^2/(m^2+2)...(1),2x0=x1+x2=m(y1+y2)-4m=-8m/(m^2+2)...(2)
(1)/(2):y0/x0=-m/2,m=-2y0/x0代入（2）式：x0^2/8+(y0-2)^2/4=1,为一平移后的椭圆；由（2）式得定义域：（-√6/2，√6/2）
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黄先生
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本回答由黄先生提供
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弦AB的中点M(x,y)
2x=xA+xB,2y=yA+yB
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/x
(xA)^2+2(yA)^2=2......(1)
(xB)^2+2(yB)^2=2......(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+2(yA+yB)*[(yA-yB)/(xA-xB)]=0
2x+2*2y*(y-2)/x=0
截弦的中点的轨迹方程:
x^2+2(y-1)^2=2
2x=xA+xB,2y=yA+yB
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/x
(xA)^2+2(yA)^2=2......(1)
(xB)^2+2(yB)^2=2......(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+2(yA+yB)*[(yA-yB)/(xA-xB)]=0
2x+2*2y*(y-2)/x=0
截弦的中点的轨迹方程:
x^2+2(y-1)^2=2
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