Question

求教一道高一几何题

已知四面体ABCD中，M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心，求证：线MN平行于面ABD ，线BD平行于面CMN

Answer 1

证明：
连接CM、CN并延长，分别交AB、AD于P、Q两点，连接PQ、MN，
由于M为ΔABC的重心，则CM=2MP，AP=PB，
同理CN=2NQ，AQ=QD，
∴CN/NQ=CM/MP
∴MN//PQ
∴MN//平面ABD
又∵AP=PB，AQ=QD
∴PQ//BD
∴BD//平面CMN
注：证明直线与平面平行的问题，最主要的方法就是使用课本上给出的判定定理，而使用此定理关键是在目标平面内找到一条与目标直线平行的直线，这条直线一般使用直线与平面平行的性质定理来确定位置。

Answer 2

三角形重心为中线的交点， 取AB,AD的中点E,F,连接EF,
可知 MN平行EF平行BD, 所以 线MN平行于面ABD ，线BD平行于面CMN

Answer 3

连接三条棱的中心点形成一平面，此面与底面平行（重心为中线交点）

证明即可