Question

数学圆锥曲线

已知抛物线C：y=2x2（平方） 直线y=kx+2交C于AB两点。M是线段AB 的中点。过点M作x轴垂线交C于N。
1.证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行
2。 是否存在实数K使得向量 NA*NB=0 求k的值；若不存在，说明理由

Answer 1

1.已知点Q（2√2,0）及抛物线x^2=4y上一动点p（x,y），则y+｜PQ｜的最小值是？
解：设y+|PQ|=d（d≥0)，则|PQ|=d-y,|PQ|2=（d-y)2=d2+y2-2dy，即
y2+x2+8-(4√2)y=d2+y2-2dy，整理得x2-（4√2-2d)y+8-d2=0。由抛物线方程x2=4y得y=x2/4,把y=x2/4代入x2-（4√2-2d)y+8-d2=0得x2-（2√2-d)x2/2+8-d2=0，（1-√2+d/2）x2+8-d2=0，因为x为实数，所以(1-√2+d/2)(8-d2)≤0，解不等式组1-√2+d/2≥0，
8-d2≤0，
和1-√2+d/2≤0，
8-d2≥0，得
d≤-2√2(不合题意，舍去）和d≥2√2。所以y+｜PQ｜的最小值是d=2√2。

2.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A，B两点，与抛物线的准线相交与C，｜BF｜=2，则△BCF与△ACF所成的面积之比为？
解：抛物线y2=2x的焦点F（1/2,0),准线为x=-1/2.设过点M(√3,0)的直线方程y=k(x-√3),点B的坐标为B(x′，y′），则有
y′=k(x′-√3），①
y′2=2x′， ②
y′2+（x′-1/2)2=4。③
解方程组的过程如下：
把②代入③得x′2+x′-15/4=0,(x′+5/2)(x′-3/2)=0,x′=-5/2或x′=3/2,其中x′=-5/2不合题意。
把x′=3/2代入②得y′2=3，y′=√3或y′=-√3。
点B的坐标为B(3/2,√3)或B(3/2,-√3)。
下面取B(3/2,√3)一种情况进行探讨：
把x′=3/2和y′=√3代入①得k=√3/(3/2-√3），
把k=√3/(3/2-√3）代入y=k(x-√3),得y=(√3x-3）/(3/2-√3），
直线y=(√3x-3）/(3/2-√3）与直线x=-1/2的交点的横坐标为x=-1/2，
把x=-1/2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(-√3/2-3）/(3/2-√3）
=(√3/2+3）/(√3-3/2）=(√3/2+3）(√3+3/2）/(3/4）=(6+15√3/4)/(3/4）
=4(2+5√3/4)=8+5√3。所以点C的坐标为C(-1/2,8+5√3）。
下面求点A的坐标(取其中一种情况)：
把y=(√3x-3）/(3/2-√3）代入y2=2x得[(√3x-3）/(3/2-√3）]2=2x,即（3x2-6√3x+9)/(21/4-3√3）=2x,3x2-6√3x+9=6(7/4-√3)x,
x2-2√3x+3=2(7/4-√3)x，x2-7x/2+3=0,x=2或x=3/2(点B的横坐标为3/2,故取2为点A的横坐标)。
把x=2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(2√3-3）/(3/2-√3）
=(2√3-3）(3/2+√3）/(-3/4）=4(3-2√3)(3/2+√3）/3=(-6)/3=-2。所以点A的坐标为A（2，-2）。
△BCF与△ACF的高相等，底在同一条直线上，所以它们的面积的比等于它们底边的比,它们底边的比又等于B,C两点的横坐标与点C的横坐标之差的比，也等于B,C两点的纵坐标与点C的纵坐标之差的比。即（3/2+1/2)/(2+1/2)=4:5。[或者（√3-8-5√3):(-2-8-5√3）=（8+4√3）：(10+5√3）=4：5]。
（由于图像的对称性，根据另外一种情况得出的结果会和上面相同。）

Answer 2

taijDHLCFQIWDJCFHLSIDCJHLSIDJH抛物线C:y=2x²,直线L:y=kx+2.两方程联立得:2x²-kx-2=0.易知，二者恒有两个不同的交点。可设交点A(a,ka+2),B(b,kb+2).(a≠b),由“韦达定理”可得:a+b=k/2,ab=-1.∴由题意可知点M(k/4,(k²+8)/4).N(k/4,k²/8).【一】抛物线C:y=2x².求导得y'=4x,∴抛物线在点N(k/4,k²/8)处的切线斜率Kn=4×(k/4)=k.又直线AB的斜率为k,∴抛物线C在点N处的切线与直线AB平行。【二】易知，向量NA=(a-k/4,ka+2-k²/8),向量NB=(b-k/4,kb+2-k²/8).∴由题设应有(a-k/4)(b-k/4)+(ka+2-k²/8)(kb+2-k²/8)=0.整理可得:3-[9k²/16]-[3k^4/64]=0.===>(k²+16)(k²-4)=0.===>k=±2..................

Answer 3

解：抛物线C:y=2x²,直线L:y=kx+2.两方程联立得:2x²-kx-2=0.易知，二者恒有两个不同的交点。可设交点A(a,ka+2),B(b,kb+2).(a≠b),由“韦达定理”可得:a+b=k/2,ab=-1.∴由题意可知点M(k/4,(k²+8)/4).N(k/4,k²/8).【一】抛物线C:y=2x².求导得y'=4x,∴抛物线在点N(k/4,k²/8)处的切线斜率Kn=4×(k/4)=k.又直线AB的斜率为k,∴抛物线C在点N处的切线与直线AB平行。【二】易知，向量NA=(a-k/4,ka+2-k²/8),向量NB=(b-k/4,kb+2-k²/8).∴由题设应有(a-k/4)(b-k/4)+(ka+2-k²/8)(kb+2-k²/8)=0.整理可得:3-[9k²/16]-[3k^4/64]=0.===>(k²+16)(k²-4)=0.===>k=±2.