Question

设有界数列｛Xn｝发散，证明：｛Xn｝中必存在两个子列｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2)，使｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2)分别

敛于两个不同的极限值？
怎么做啊？求思路，求详解！！！

Answer 1

设 an = sup{xn, x(n+1), ....} 即 序列 xn, x(n+1),..... 的上限。n =1,2,....
设 bn = inf{xn, x(n+1), ....} 即 序列 xn, x(n+1),..... 的下限。n =1,2,....
因为 {xn} 有界， 所以 {an}, {bn} 都存在。并且 an >= bn
{an} 是递减序列且有界，必有极限。 设其极限为a.
{bn} 是递增序列且有界，必有极限。设其极限为b.
因为 an >= bn, 所以 a >= b.
如果 a = b, 则 {xn} 收敛于a, 与题设 {xn}发散矛盾。
于是有： a > b
任给 m > 0, 因 an ---> a, 所以 存在 n 使得 |an - a| < 1/(2m),
an = sup{xn, x(n+1), ....}, 所以 存在 m1, 使得 |xm1 - an| < 1/(2m)
===> |xm1 - a| <= |an - a| + |xm1 - an| < 1/m
于是 序列 {xm1} ----> a
类似可以找到序列 {xm2}, 使得 xm2 ---> b.

Answer 2

反证法？？如果收敛于同一数值，则原数列收敛？？不过好像逻辑上不够严密！你是数学分析的吧