Question

已知一直角三角形的斜边长为13,其内切圆半径为2,则该三角形的周长为?

已知一直角三角形的斜边长为13,其内切圆半径为2,则该三角形的周长为?

Answer 1

设直角边为a,b
根据直角三角形斜边平方等于直角边平方和：a^2+b^2=13^2
又直角三角形面积等于内切圆半径与三边的乘积之和的一半。故有：
1/2×a×b=1/2×2×(a+b+13)
两边乘以4，得2×a×b=4×(a+b+13)
再将其与第一个式子相加，得：a^2+2×a×b+b^2=4×(a+b+13)+13×13
上式可化为：(a+b)^2=4×(a+b)+13×17
令x=a+b，有：x^2-4×x-13×17=0
即(x+13)×(x-17)=0
因为x=a+b>0，所以x=a+b=17
所以该三角形的周长为：a+b+13=17+13=30
说明：^2是平方的符号。（a^2表示a的平方，同理，x^2表示x的平方。）

Answer 2

设直角边为x，y
x^2+y^2=169 勾股定理 1
(x+y+13)*2=xy 根据三角形面积 2
把2式代入1式解出x+y=17,所以周长为30