Question

长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面为正方形，AA1=2AB=4

长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面为正方形，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC,
证明：A1C垂直平面BED
求详细过程

Answer 1

给个简单明了的证明方法。
思路是：通过证明A1C⊥BD， A1C⊥BE 得到A1C垂直平面BED。
首先，证明A1C⊥BD，这个简单，明显AA1⊥平面ABCD，A1C在上平面的投影为AC，而AC⊥BD --> A1C⊥BD。
然后，再证明A1C⊥BE 。可以知道CE=1，考虑平面BB1C1C，可以很快知道B1C⊥BE。而B1C是A1C在BB1C1C的投影。可以得到A1C⊥BE 。
由于A1C垂直于平面BED上的两条直线，得证A1C垂直平面BED。

Answer 2

AC与BD交于O,作CC1的中点H连接HA，则HA||OE
tan∠EAC=（根号2）/2
tan∠A1CC1=（根号2）/2；所以∠EAC=∠A1CC1
∠A1CC1+∠A1CA=90°，所以∠EAC+∠A1CA=90°，所以A1C⊥AH，所以A1C⊥OE
由于A1C在平面ABCD的投影AC⊥BD，所以A1C⊥BD。
因为OE交于BD且OE和BD在平面BED上
根据一条直线垂直于一个平面上相交的两条直线，则这条直线垂直于这个平面，可 得证（定理记得不是很清楚，若表述错了请见谅）