Question

求∫√（1+t＾2）dt在0到x＾2上的定积分

Answer 1

∫√(1+t^2) dt= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C。C为积分常数。

解答过程如下：

令t=tan[x]

∫√(1+t^2) dt

= ∫sec[x]d(tan[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx

= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx

= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx

其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]{sec[x]+tan[x]}/{sec[x]+tan[x]} dx

= ∫d{tan[x]+sec[x]}/{sec[x]+tan[x]}

= ln{sec[x]+tan[x]}

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln{sec[x]+tan[x]} + C

代回得：

∫√(1+t^2) dt

= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C

扩展资料

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2