求∫√(1+t^2)dt在0到x^2上的定积分

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∫√(1+t^2) dt= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C。C为积分常数。

解答过程如下:

令t=tan[x]

∫√(1+t^2) dt

= ∫sec[x]d(tan[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx

= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx

= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx

其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]{sec[x]+tan[x]}/{sec[x]+tan[x]} dx

= ∫d{tan[x]+sec[x]}/{sec[x]+tan[x]}

= ln{sec[x]+tan[x]}

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln{sec[x]+tan[x]} + C

代回得:

∫√(1+t^2) dt

= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C

扩展资料

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式,当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式,所以我们只讨论积分变上限函数即可。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先,它是由定积分来定义的;其次,这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

参考资料来源:百度百科-定积分

西域牛仔王4672747
2017-04-08 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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