Question

四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC垂直于底面BCDE,BC=2,CD等于根号2,AB=AC 1.证明AD垂直于CE

Answer 1

证明：如图：做AF⊥BC，连接EC，连接DF，EC、DF交于点O

∵侧面ABC垂直于底面BCDE、AF⊥BC、AF在面ABC内

∴AF⊥面BCDE

∵EC在面BCDE内

∴AF⊥EC

∵AB=AC、AF⊥BC（由等腰三角形的三线合一性质得到）

FC=(1/2)BC=1

△EOD∽△COF（易得相似比为2：1）

在Rt△DCF中，由勾股定理可得：DF=√3，∴OD=(2√3)/3

在Rt△DEC中，由勾股定理可得：EC=√6，∴OC=（√6）/3

在△DOC中，由以上数据可得：OD²+OC²=CD²

∴∠DOC=90°

即：EC⊥DF

有∵AF⊥EC（已证）

∴EC⊥面ADF（理由：EC⊥面ADF中两条相交直线）

又∵AD在面ADF内

∴EC⊥AD

也就是AD⊥CE

【证明完毕】

Answer 2

取BC中点F，连结AF,FD.△ABC为等腰三角形，故AF⊥BC,且ABC垂直于底面BCDE，故AF⊥面BCDE，得到AF垂直CE（条件1）。由△CFD∽△CDE,可得FD⊥CE(条件2)，AF,FD,AD共面，故CE⊥AD.
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