Question

微积分问题

∫{1+√(1-x^2)}/{1-√(1-x^2)}dx
步骤详细点

Answer 1

将分子分母同乘以分子得
{1+√(1-x^2)}/{1-√(1-x^2)}
=[1+2√(1-x²)+1-x²]/(1-1+x²)
=[2+2√(1-x²)-x²]/x²
=2/x²+2√(1-x²)/x²-1
因为 ∫[(2/x²)-1]dx=-2/x-x
现在求2√(1-x²)/x²的积分：
设x=siny, 则 dx=cosydy
∫[2√(1-x²)/x²]dx
=2∫[√(1-sin²y)*cosy/sin²y]dy
=2∫(cos²y/sin²y)dy
=2∫(1-sin²y)/sin²ydy
=2∫(csc²y-1)dy
=2(-ctgy-y)=-2√(1-x²)/x-2arcsinx
所以 原式的积分为
-2/x-x-2√(1-x²)/x-2arcsinx+C