物理化学自由度 物理化学自由度怎么看
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2017-04-17
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物理化学自由度 物理化学自由度怎么看
自由度是系统约束流形的切空间的维度;在通常的有穷维流形上,切空间和流形维度相同。
哈密顿和拉格朗日力学中,研究对象是受到约束的物体的运动。我这里把情况简化到刚体或质点受到完备的(holonomic)约束。
所谓完备约束,就是说系统中所有质点的位置满足如下形式的方程组F(x1,x2,...xm)=0, 其中x们是质点在R^3中的位置。F是一个映射到R^n的光滑函数,且dF在任何开集上不为0。于是,系统中的对象在约束下的所有可能位置就是一个3m-n维的流形。比如单摆的可能位置是一个球壳(2维流形);过山车的可能位置是它的轨道(1维流形);宇宙中的一个石块(不是质点)的可能位置是它的重心位置和它的欧拉角指向(6维流形),位置是个R^3,指向是个SO3(欧拉角是SO3的一种表示方法)。流形就是光滑曲面/线/体的严格说法。
所谓描述一个n维系统中质点的位置,就是用R^n去光滑的参数化这个系统。比如经纬度参数化地球表面一个运动的质点。
流形的切空间就是对象处于某位置时,所有可能的速度。尽管流形,即对象的所有可能位置,不一定是平的;对象在某点的速度却一定是个R^n中的向量,也就是说切空间一定是平的。宇宙中的石块在某一点,可能有线速度和角速度,都是3维向量,我们就说它的切空间(速度的空间)是6维向量空间。单摆的轨迹是曲线,可是某一点处,它的速度一定是圆的某条切线,是个平坦的空间。
所谓自由度就是切空间,或者说速度空间的维度,通常也是流形的维度。
自由度是系统约束流形的切空间的维度;在通常的有穷维流形上,切空间和流形维度相同。
哈密顿和拉格朗日力学中,研究对象是受到约束的物体的运动。我这里把情况简化到刚体或质点受到完备的(holonomic)约束。
所谓完备约束,就是说系统中所有质点的位置满足如下形式的方程组F(x1,x2,...xm)=0, 其中x们是质点在R^3中的位置。F是一个映射到R^n的光滑函数,且dF在任何开集上不为0。于是,系统中的对象在约束下的所有可能位置就是一个3m-n维的流形。比如单摆的可能位置是一个球壳(2维流形);过山车的可能位置是它的轨道(1维流形);宇宙中的一个石块(不是质点)的可能位置是它的重心位置和它的欧拉角指向(6维流形),位置是个R^3,指向是个SO3(欧拉角是SO3的一种表示方法)。流形就是光滑曲面/线/体的严格说法。
所谓描述一个n维系统中质点的位置,就是用R^n去光滑的参数化这个系统。比如经纬度参数化地球表面一个运动的质点。
流形的切空间就是对象处于某位置时,所有可能的速度。尽管流形,即对象的所有可能位置,不一定是平的;对象在某点的速度却一定是个R^n中的向量,也就是说切空间一定是平的。宇宙中的石块在某一点,可能有线速度和角速度,都是3维向量,我们就说它的切空间(速度的空间)是6维向量空间。单摆的轨迹是曲线,可是某一点处,它的速度一定是圆的某条切线,是个平坦的空间。
所谓自由度就是切空间,或者说速度空间的维度,通常也是流形的维度。
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