Question

用函数的极限证明lim( x→π/4 )sinx=√2/2

用函数的极限ε-δ定义证明

Answer 1

证明：对于任意的ε>0，解不等式
│sinx-√2/2│=│sinx-sin(π/4)│=2│cos((x+π/4)/2)*sin((x-π/4)/2)│ (应用和差化积公式)
≤2│sin((x-π/4)/2)│<2*│(x-π/4)/2│ (应用公式 sint<t)
=│x-π/4│<ε，得│x-π/4│<ε，取δ≤ε。
于是，对于任意的ε>0，总存在正数δ≤ε。当 0<│x-π/4│<δ时，有│sinx-√2/2│<ε。
即 lim(x->π/4)sinx=√2/2，证毕。

Answer 2

证明：对于任意的ε>0，解不等式
│sinx^2/√x│≤1/√x<ε
得x>1/ε^2，则取δ=1/ε^2。
于是，对于任意的ε>0，总存在正数δ=1/ε^2，当x>δ时，有│sinx^2/√x│<ε。
即 lim(x->+∞)(sinx^2/√x)=0，命题成立，证毕。

Answer 3

极限=sin(pi/4)=√2/2