Question

初三圆问题，急急急！

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，AD是圆O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于点F，△CAF与△BAC相似吗？为什么？

Answer 1

无与纶比の雨，你好：

△CAF与△ABC相似

证明：
延长CF，交外接圆于点G
∵AD是直径，AD⊥CG
∴弧AC=弧AG
∴∠ABC=∠ACG（等弧所对的圆周角相等）
∵∠CAF=∠BAC
∴△CAF∽△BAC

Answer 2

相似

角ACF=角ADC
又角ADC=角ABC
所以角ACF=角ABC
又角CAF=角BAC
所以相似

Answer 3

连结AD，
因为AD为直径，所以∠ACD=90°，∠CDA+∠CAD=90°
又因为CE⊥AD，所以，∠ACE+∠CAD=90°，所以，∠CDA=∠ACE
又因为∠CDA=∠CBA，所以∠CBA=∠ACE
在△CAF与△BAC中，
∠CBA=∠ACE
∠CAB=∠CAB
所以△CAF∽△BAC

Answer 4

辅助线你自己在图上做一下。这题就是辅助线比较难以想到。
（1）解：过OA作直径与圆相交于点F，连接BF
∵AF为直径∴∠ABF=90°
∠BAF+∠AFB=90°
又∵∠BFA=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）
∴∠BAF+∠ACB=90°
又∵PA^2=PB*PC
∴PA/PB=PC/PA
∴△PAB～△PAC
∴∠PAB=∠ACB
∴∠BAF+∠PAB=90°
∴直线PA是圆O的切线
（2）∵PA^2=PB*PC
∴PA=4
∵PB=2，BC=6，PC=8AC=5
由1知△PAB～△PAC
∴AB/AP=AC/PC
∴AB=5/2
又∵∠ACB=∠BFA
圆O的半径为15/2
∴AF=15
在△ABF中
∴sin∠PCA=sin∠BFA=AB/AF=1/6
打字好累啊！做题十分钟，打字20分钟，哎！