Question

一道不定积分题

怎么求这个不定积分

Answer 1

开头可先用完全平方化简

Answer 2

原式=∫(x-2)√{[(x+2)^2]-3} dx
设x+2=√3 sect dx=√3sect tant dt
原式=∫(√3sect - 4) (√3tant)^2 sect dt
=3∫ (√3sect - 4) tant d(sect)
=3√3 ∫ sect tant d(sect) - 12∫ tant d(sect)
=3√3 ∫ (sect)^2 (tant)^2 dt - 12∫ sect (tant)^2 dt
=3√3 ∫ (sect)^4 dt - 3√3 ∫ (sect)^2 dt - 12∫ (sect)^3 dt -12∫sect dt

其中
∫(sec t)³dt
=∫(1/cos t)³dt
=∫cost/(cos t)^4 dt
=∫1/(1-sin²t)² d sin t
=∫1/(1-sint)²(1+sint)² d sin t
=1/4 ∫[1/(1-sin t) + 1/(1+sint)]² d sin t
=1/4∫[1/(1-sint)²+1/(1+sint)²+2/(1-sint)(1+sint)] d sin t
=1/4[1/(1-sint) - 1/(1+sint) - ln (1-sint) + ln (1+sint)] + C
=2tg t sec t + 1/4 ln (1+sint)/(1-sint) + C

∫sect dt
=∫sect(sect+tant)/(sect+tant) dt
=∫/(sect+tant)dt=∫d(tant+sect)
=ln|tant+sect|+C

∫(sect)^4 dt
设t=tanx 则dt=(secx)^2dx
(secx)^2=2/(cos2x+1)=2/[(1-t^2)/(1+t^2)+1]=t^2+1
则∫(secx)^4dx=∫(t^2+1)^2 dt
=(t^5)/5+(2/3)(t^3)+t+C

∫(sect)^2 dt=tant

则原式=(t^5)/5+(2/3)(t^3)+t -(3√3)tant - 24tan t sec t - 3 ln (1+sint)/(1-sint)
-12ln|tant+sect| + C
将t=arcsec[(x+2)/√3]代回原式
得…………
写不下去了。。。