Question

一道高中数学题。

Answer 1

（I）
把y=x+1代入x^2+y^2=a^2得
2x^2+2x+1-a^2=0
则两根之差就是弦长的水平距离
即：√(4-8(1-a^2))/2=√6cos45°
a=√2
又已知离心率e=c/a=√2/2
得：c=1
b=√(a^2-c^2)=1
椭圆方程是：x^2/2+y^2=1
.
（II）
由A、B在C上有：
x1^2/2+y1^2=1 --------①
x2^2/2+y2^2=1 --------②
又ΔAOB的面积=(x1y2-x2y1)/2
由已知条件得：
x1y2-x2y1=√2 --------③
两边平方得：(x1y2)^2-2x1y1x2y2+(x2y1)^2=2
即：(x1y2)^2/2+(x2y1)^2/2=1+x1y1x2y2 --------④
①②相乘得：(x1x2)^2/4+(x1y2)^2/2+(x2y1)^2/2+(y1y2)^2=1
把④代入得：(x1x2)^2/4+x1y1x2y2+(y1y2)^2=0
即：(x1x2/2+y1y2)^2=0
于是：x1x2=-2y1y2
把x2=-2y1y2/x1代入③得：x1y2+2y1^2y2/x1=√2
即：2y2(x1^2/2+y1^2)/x1=√2
把①代入得：2y2/x1=√2
即：x1=√2y2 --------⑤
把⑤代入①得：y2^2+y1^2=1
证明了N(y1,y2)在定圆上
把⑤代入②得：x2^2+x1^2=2
证明了M(x1,x2)在定圆上

Answer 2

向左转|向右转向左转|向右转