Question

数学 导数题

函数y=x^3+3/x 在（0,+∞）上的最小值是多少 写清楚过程

Answer 1

y'=3x^2-3/x^2=3(x^2-1/x^2)=3(x^4-1)/x^2=3(x^2-1)(x^2+1)/x^2=3(x-1)(x+1)(x^2+1)/x^2
定义域为x>0
当0<x<1时，y'<0，函数单调递减；当x>0时,y'>0，函数单调递增,
所以当x=1时，函数取得最小值，y=1+3/1=4

Answer 2

y'=3x²-3/x²
令y'=0得x²-1/x²=0，解得x1=1，x2=-1（舍去）
y"=6x+6/x³
y"(1)>0
所以x=1时，y有唯一极小值从而也是最小值y(1)=1+3=4

Answer 3

y‘=3x^2-3/x2
=3（x-1)(x+1)(x^2+1)/x^2
y‘=0,x=1或x=-1
0<x<1,y‘<0,y单减
x>1,y‘>0,y单增
x=1时y最小值=4