Question

已知角α为锐角,求证1<sinα+cosα<π/2和sin³α+cos³α<1

已知角α为锐角,求证1<sinα+cosα<π/2和sin³α+cos³α<1
我们目前只学到了诱导公式，不用和角公式求解

Answer 1

sinx+cosx=sinx+√（1-sinx^2）>=2sinxcosx
当且仅当sinx=√（1-sinx^2)时等号成立
此时2sinx^2=1
sinx^2=1/2
sinx=√2/2
x=45度
f(min)=(√2/2)^2*2=1
sinx+cosx>=1
f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f(x)max=√2=1.414<3.14/2
所以1<=sinx+cosx<π/2
f(x)=sinx^3+cosx^3=(sinx+cosx)(sinx^2-sinxcosx+cosx^2)
sinx^2+cosx^2=1
f(x)=(1-sinxcosx)(sinx+cosx)=√2sin(x+π/4)(1-sinxcosx)<=√2/2[sin(x+π/4)^2+(1-sinxcosx)^2]当且仅当sin(x+π/4)^2=1-sinxcosx时等号成立f(x)取得最大
√2/2sinx-√2/2cosx=1-sinxcosx
√2/2(sinx-cosx)=1-sinxcosx
sinxcosx<1
√2/2(sinx-cosx)>=1
sinx-cosx>=√2
sin(x-π/4)>=√2
sinx<=1于是我们知道
1-sinxcosx被放大的倍数至少为√2
所以√2(1-sinxcosx)<=1
1-sinxcosx<=√2/2
sin(2x)<=2-√2约等于0.586
x约等于36度
f(x)max=(sin36)^3+(cos36)^3=0.20+0.53=0.73<1

Answer 2

作出单位圆，单位圆与坐标轴交于点A(1,0)，B(0,1).
设角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥x轴，
根据三角函数线的知识可知：MP =sinα，OM=cosα，
在RT△PMO中，MP+OM>OP,
即sinα+cosα>1.

又因△POA的面积＜扇形POA的面积，
所以1/2•OA•MP<1/2•弧长AP•OA
∴MP<弧长AP

同理△POB的面积＜扇形POB的面积，
所以1/2•OB•OM<1/2•弧长PB•OB
∴OM<弧长PB.

从而可得：MP +OM<弧长AP+弧长PB=弧长AB.
即sinα+cosα<π/2
综上知：1<sinα+cosα<π/2

角α为锐角,则0<sinα<1,
所以sin³α<sin²α
同理0<cosα<1, cos³α<cos²α
sin³α+cos³α< sin²α+cos²α=1.