Question

已知sinα+cosα=(根号2)/2,求下列各式的值:

已知sinα+cosα=(根号2)/2,求下列各式的值:
(1)sin^3α+cos^3α；（2）sin^4α+cos^4α

Answer 1

解：令 x=sin α, y=cos α, 则
x +y =√2 /2, ①
x^2 +y^2 =1, ②
x,y 属于[-1,1].
①^2 -② 得
2xy = -1/2.
即 xy = -1/4, ③
由 ①②③ 得
(1) (sin α)^3 + (cos α)^3
= x^3 +y^3
= (x +y) (x^2 +y^2 -xy)
= √2 /2 *(1 +1/4)
= 5√2 /8.
(2) (sin α)^4 +(cos α)^4
= x^4 +y^4
= (x^2 +y^2)^2 -2(x^2)(y^2)
= 1 -2 *(-1/4)^2
= 7 /8.

= = = = = = = = =
以上计算可能有误.
换元法+ 暴力破解，sin 神马的都是浮云。
不换元也可以，知道怎样变换就行。

= = = = = = = = =
一楼：
sin(x+π/4)=1/2，x+π/4=π/6，
x = -π/12 = -15°，没错。
已用计算器验证。

sin 15°
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
= (√6 -√2) /4.

cos 15°
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
= (√6 +√2) /4.

15°，75°也算特殊角了。

Answer 2

sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sinx^2-sinxcosx+cosx^2)=(√2/2)(1-sinxcosx)
√2sin(x+π/4)=(√2/2)
sin(x+π/4)=1/2
x+π/4=π/6
x=-π/12=-15度
sinx=-0.2588
cosx=0.9659
(1)=-0.0173-0.9011=-0.9184
(2)0.0045+0.8705=0.8750

Answer 3

对于形如“sinα±cosα”的式子，一般有两种考虑途径：一是平方，得到1±sin2α；另外是提出根号2，转化为根号2(sin(α＋π/4))的形式。本题比较适合用第一种方法来解。(一楼解答中的“sin(x+π/4)=1/2，x+π/4=π/6”有误)。第一题的三次方可以用立方和公式仿照一楼的方法做。四次方的话，可以化为(sinα^2＋cosα^2)^2－1/2(2sinαcosα)^2=1－1/2×sin2α来解。