Question

初三数学相似 如图：A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G

Answer 1

（2007•成都）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，于点D，AD⊥BC过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为 ，求BD和FG的长度．

证明：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线
∴EB⊥BC
又∵AD⊥BC
∴AD‖BE
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF

（2）证明：连接AO，AB
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90°
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是⊙O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴PA是⊙O的切线

（3）解：过点F作FH⊥AD于点H
∵BD⊥AD，FH⊥AD
∴FH‖BC
由（1），知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
由已知，有BF=FG
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH‖BD，BF‖AD，∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH
∵FH‖BC，易证△HFG∽△DCG
∴
即
∵⊙O的半径长为3
∴BC=6
∴
解得BD=2
∴BD=FH=2
∵
∴CF=3FG
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6 ）2
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．

Answer 2

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