Question

什么是剩余定理？

Answer 1

中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称孙子定理。
内容
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余
三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。也就是求同余式组x≡2 （mod3），x≡3 （mod5 ），x≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m整除a－b ）的正整数解。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”即解为x≡2×70＋3×21＋2×15≡233≡23(mod105）。此定理的一般形式是设m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。则同余式组x≡b1(modm1)，…，x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk （modm）。式中M'iMi≡1 （modmi），i＝1，2，…，k 。直至18世纪 C.F.高斯才给出这一定理。孙子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。
解法
解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。 附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。 即题目的答案为 70×2+21×3+15×2 =140+63+30 =233 233-2×105=23 公式：70a+21b+15c-105n
数学公式
（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi, mj) =1, i≠j, i,j = 1,2,...,k 则同余方程组： x≡b1 mod m1 x≡b2 mod m2 ... x≡bk mod mk 模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x,满足： x≡bi mod [m1,m2,...,mk], i = 1,2,...,k