Question

等比数列求解过程中一道题的一步推理看不懂，请指教：

已知在等比数列中，an=a1*q^(n-1)=54， Sn=a1*(1-q^n) / 1-q = 80，可以推导出下述：
a1 / q = 54/81，
a1*80 / q-1 = 80
进而得到，a1=2,q=3 请问是如何推得？我算了半天。。。还有一个已知项是S2n=6560。

Answer 1

写的有点乱，我标记的A,B,C,D,M,N是为了方便陈述题目，看的时候用纸抄下来更容易看懂
由an=a1*q^(n-1)=54 得出
a1*q^n/q=54得
a1*q^n=54q 此处标记A
由Sn=a1*(1-q^n) / 1-q = 80得出
a1-a1*q^n=80-80q 此处标记B
B合并并移项，可以导出题目中的a1*80 / q-1 = 8
综合A,B得出
a1-54q=80-80q，简化方程式得80-a1=26q 标记为M
由S2n=6560，代入Sn=a1*(1-q^n) / 1-q = 80中得
S2n=a1*（1-q^2n）/1-q=6560
用S2n/Sn得
（1-q^2n）/1-q^n=82 标记为C
1-q^2n因式分解得（1+q^n）*（1-q^n） 标记为D
综合C,D得1+q^n=82，q^n=81
把q^n=81 代入A中可以导出题目中的a1 / q = 54/81
把q^n=81代入B中得
a1-81a1=80-80q 得出 解得a1=q-1 标记为N
综合N,M得 a1=2，q=3
写起来很累呀，加QQ79281857，下次语音解答方便一点