Question

一道用洛必达求极限的题

设
[(1+x)^(1/x)-e]/x ,x≠0
f(x)={
a ,x=0
在x=0处连续，试求a的值

我是这么做的:
据函数连续的定义知,lim(x->0)f(x) = lim(x->0)[(1+x)^(1/x)-e]/x = a = f(0)
=> lim(x->0)[(1+x)^(1/x)-e]/x = lim(x->0){e^[ln(1+x)/x] - e}/x =(0/0不定式) .....(几个0/0不定式求导后）=-1/2

可答案是0，我很疑惑，我这样也是通过不定式求导啊，为什么不行？如果我直接求导的话，分子里包含冥指函数，我不知道该怎么做了~ 望各位告诉我为什么我的方法不行，并且得用什么方法才行

Answer 1

令y=(1+x)^(1/x)=e^[ln(1+x)/x]
则y`=e^[ln(1+x)/x]{[x/(1+x)-ln(1+x)]/(x^2)}
=[(1+x)^(1/x)]{[x/(1+x)-ln(1+x)]/(x^2)}
原式=elim<x→0>[x/(1+x)-ln(1+x)]/(x^2)(继续用洛必达法则)
=elim<x→0>[1/(1+x)^2-1/(1+x)]/(2x)(分子通分整理)
=(-e/2)lim<x→0>[1/(1+x)^2]=-e/2

Answer 2

上下求导
lim<x→0>[ [(1+x)^(1/x)-e]/x =(-e/2)lim<x→0>[1/(1+x)^2]=-e/2