Question

已知二次函数y=ax^2+bx-2的图象经过点（1，0）一次函数图像经过原点和点（1，-b），其中a>b>0,且a,b为实数

⑴求一次函数表达式 （用含b的式子表示）
⑵试说明这两个函数的图象交于不同的两点
⑶设⑵中的两个交点的横坐标分别为x1,x2，求｜x1-x2｜的范围

Answer 1

(1)y=-bx.①
(2)∵y=ax^2+bx-2的图象经过点（1，0），
∴a+b-2=0,a=2-b,
∴y=(2-b)x^2+bx-2.②
把①代入②，化简得(2-b)x^2+2bx-2=0,③
∴△=4b^2+8(2-b)=4(b^2-2b+4)=4[(b-1)^2+3]>0,
由a>b>0得0<b<1.2-b≠0.
∴③有两个不等的实根，
∴这两个函数的图象交于不同的两点。
(3）0<b<1.
|x1-x2|=(√△）/（2-b)=2√[1+2b/(2-b)^2]>2,
又2b/(2-b)^2=2/(b+4/b-4)<2(∵b+4/b>5),
∴|x1-x2|的取值范围是(2,2√3).