Question

已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1F2，右顶点为A，上顶点为B，

若椭圆C的中心到直线AB的距离为√6/6|F1F2|，则椭圆c的离心率e=

Answer 1

原题是:已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为(√6/6)|F1F2|，则椭圆C的离心率e=____.
填入:√2/2
A(-a,0),B(0,b),|F1F2|=2c
直线AB方程:bx-ay+ab=0
得|b·0-a·0+ab|/√(a²+b²)=(√6/6)·2c
3a²b²=2(a²+b²)·c²
3a²(a²-c²)=2(a²+(a²-c²))·c²
3a²(a²-c²)=2(2a²-c²)·c²
3(1-e²)=2(2-e²)·e²
设t=e²,0<t<1
2t²-7t+3=0
解得 t=1/2或t=3(舍去)
e²=1/2
所以 e=√2/2