Question

已知a²+ab-b²=0，且a、b均为正数

先化简下面的代数式，再求值：(a²-b²)/[(b-a)(b-2a)]+(2a²-ab)/(4a²-4ab+b²).
=[2+(a/b)]/[2-(a/b)]
APNA解释一下好吗？

Answer 1

(a²-b²)/[(b-a)(b-2a)]+(2a²-ab)/(4a²-4ab+b²).
=(a-b)(a+b)/[(b-a)(b-2a)]+a(2a-b)/(2a-b)²
=(a+b)/(2a-b)+a/(2a-b)
=(a+b+a)/(2a-b)
=(2a+b)/(2a-b)
=(2+b/a)/(2-b/a)………………（1）（同时除以a得到）

a²+ab-b²=0
同时除以a²，得：
1+b/a-(b/a)²=0
(b/a)²-b/a-1=0
设t=b/a
t²-t-1=0
△=1+4=5
t=(1-√5)/2＜0（舍去）
或t=（1+√5)/2
带入（1），得：
原式
=[2+(1+√5)/2]/[2-(1+√5)/2]
=(4+1+√5)/(4-1-√5)
=(5+√5)/(3-√5)
=(5+√5)(3+√5)/(9-5)…………（分子分母同时乘(3+√5）然后利用平方差公式
=(15+8√5+5)/4
=(20+8√5)/4
=5+2√5

Answer 2

(a²-b²)/[(b-a)(b-2a)]+(2a²-ab)/(4a²-4ab+b²)
=(a+b)/(2a-b)+a/(2a-b)
=(2a+b)/(2a-b)
=[2(a/b)+1)]/[2(a/b)-1)] (分子与分母同时乘以1/b)

不好意思，是我写错了，应该是上面修改的这个。

a²+ab-b²=0
(b/a)-(a/b)=1
解得a/b=(√5-1)/2

代入：[2+(a/b)]/[2-(a/b)]=5+2√5

Answer 3

2