Question

初二数学问题

已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G,E分别在线段AD,AB上。
（1）如图第一个，连结DF,BF,若将正方形AEFG饶点A顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等。”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等，并以第二幅图为例说明理由

Answer 1

解法一：如图（1），不正确．
若将正方形AEFG绕点A顺时针旋转45°，
这时点F落在边AB上（如图2所示，把D和G连改画成D和F连就行），
根据“垂线段最短”的性质可知DF＞AD，
而AD＝AB，
BF是AB的一部分，
因此有DF＞BF，
即此时线段DF与BF的长不相等。

解法二：“将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45度，这时点F在线段AB上”，如果此句成立，可以推出AF+BF=AB，若AF>AB时（完全可能的），AF+BF>AB，所以证明不准确。
反证法：
若AGFE顺时针转动后，DF=FB，则△ADF≌△ABF（AD=AB已知，AF为公共边，三边相等的三角形为全等三角形）
由于△ADF≌△ABF
所以∠DAF=∠BAF，
由于AGFE顺时针转动后∠DAF=∠DAC+∠CAF，∠BAF=∠BAC-∠CAF
很容易证明∠DAC=∠BAC=45
所以当∠CAF≠0时（即发生转动），∠DAF≠∠BAF，所以△ADF与△ABF不全等，所以BF≠DF（2边相等的不全等三角形，第三边一定不相等）。

（2）连结BE，，BE＝DG．理由如下：
因为四边形ABCD，
AEFG是正方形，
所以AD＝AB，
AG＝AE，
又∠DAG＋∠GAB＝90°，
∠GAB＋∠BAE＝90°，
所以∠DAG＝∠BAE，
因此△ABE可以看作是由△ADG绕点A顺时针旋转而得，
故BE＝DG．

也可用全等三角形证明
如下：
连结BE，则线段BE=DG，
理由是DA=AB，
∠DAG=∠BAE，
AG=AE，
△DAG≌△BAE（SAS）
所以DG=BE