Question

帮忙解一下这几道概率统计题，高分！求详细过程，谢谢！

1、抛n次硬币，X、Y分别表示硬币正面和反面向上的次数，则X与Y的相关系数为____。
2、设X1，X2，...，Xn为来自正态总体N（μ，σ^2）的简单随机样本，那么D[∑(Xi-X上面一横)^2]=?
3、设X1，X2。。。Xn为来自正态总体X~N（miu,sigma^2)的样本，其中miu和sigma均未知，样本标准差为S，则miu的置信度为1-alpha的置信区间长度L=——，E（L^2)=?

Answer 1

1.因X+Y=n，则
Cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E[X(n-X)]-E(X)E(n-X)
=-E(X^2)+nE(X)-E(X)[n-E(X)]=-D(X)
D(Y)=D(n-X)=D(X)
故Pxy=Cov(X,Y)/√D(X)*√D(Y)=-1
2.用X*表示样本均值，则∑(Xi-X*)^2/σ^2~χ^2(n-1)
而D[χ^2(n-1)]=2(n-1)
所以D[∑(Xi-X*)^2/σ^2]=D[∑(Xi-X*)^2]/σ^4=2(n-1)
即D[∑(Xi-X*)^2]=2(n-1)σ^4
3.置信区间(X*-ta/2*S/√(n-1),X*+ta/2*S/√(n-1))(a=alpha)
L=2ta/2*S/√(n-1)
E（L^2)=E[4(ta/2)^2*S^2/(n-1)]
=4(ta/2)^2/(n-1)E(S^2)
=4(ta/2)^2/(n-1)*1/n*σ^2*E[∑(Xi-X*)^2/σ^2]
=4(ta/2)^2/(n-1)*1/n*σ^2*(n-1)(因χ^2(n-1)分布的均值为n-1)
=4(ta/2)^2*σ^2/n

Answer 2

1. 相关系数-1,因为x+y=n。
2.D是什么意思？平均值？ 如果D表示1/n，结果就是(n-1)*σ^2/n，如果D表示1/(n-1)，就是σ^2
3. 这个时候x1...xn的平均值是x的一个无偏的估计，x服从N(miu,σ^2/N)，所以你只要算出高斯分布N(miu,σ^2/N)两边外面概率对应alpha/2的位置，那么中间区间的宽度就是置信区间长度。这个计算我就不代劳了。有什么问题再联系。

额，居然没看出D代表Standard Deviation....
楼上回答是对的，分数可以给他了