Question

设f(x)=x^4+2x+3,A为二阶矩阵，A=第一行是1,1。第二行为0,1 则f(A)的秩为

能讲讲，A的特征值为1（2重），f（A）的特征值为6(2重)，故f（A）秩为2。2重吗，不明白，还有股f（A）秩是2，能再江西点吗，非常感谢

Answer 1

矩阵A只是2阶的...直接计算出来更加方便

请见下图

Answer 2

A是m*n阶矩阵，存在可逆矩阵P（m阶），Q（n阶），使
A=P（I 0;0 0)Q。
I是阶单位阵，括号内是个分块矩阵，分号将行隔开。
可以看的出来矩阵函数不改变矩阵的秩的。
上面是等价标准型，由方阵相似标准型可知矩阵函数特征值的求法。

Answer 3

f（A）的秩为2
这是因为A的特征值为λk，k=1，2。。。n，
则f（A）的特征值为f（λk），k=1，2。。。n。
这里A的特征值为：1，1；
相对应f（A）的特征值为：6，6 。 /*即f（1），f（1）*/
故f（A）秩为2。

euganefzw，请注意，n阶矩阵A有k个非零特征值，n-k个0特征值，那么A的秩必大于等于k；
特殊情况：A没有0特征值，则A必是满秩的。
在这道题中，那么A没有0特征值，秩必然为2。

矩阵函数不改变矩阵的秩?euganefzw， 你又说错了，举个例子方阵A=
（0 1；0 0）显然A的秩为1，函数f（x）=x^2，f（A）=零矩阵，f（A）秩为0，不等于A的秩。A能写成P（I 0;0 0)Q怎么能推出来矩阵函数不改变矩阵的秩，真搞不懂你怎么想的。