Question

高二数学已知抛物线x²\a²-y²\b²=1（a＞o,b＞0）的两个焦点为F1,F2,点A 在双曲线第一

已知抛物线x²\a²-y²\b²=1（a＞o,b＞0）的两个焦点为F1,F2,点A 在双曲线第一象限的图像上，若△AF2F1的面积为1，且tan∠AF1F2=1\2,tan∠AF2F1=-2,则双曲线方程为（）
请高手解一下，写出过程
谢谢
A(.12x²\5)-3y²=1 B.(5x²|12)-y²=1 C.3x²-(12y²\5)=1 D.(x²\3)-(5y²\12)=1

Answer 1

A(x0,y0) tan∠AF1F2=y0/(x0+c)=1/2 tan∠AF2F1=-y0/(x0-c)=-2
y0^2/(x0^2-c^2)=1 y0^2=x0^2-c^2
△AF2F1的面积为1，y0*c=1 y0=1/c x0=根号(1+c^4)/c
好像条件不够
(1+c^4)/c^2a^2-1/c^2b^2=1 将答案代入 A成立

Answer 2

答案：x²\(1/4)-y²=1 即：4x²-y²=1
解：由双曲线的定义：||AF1|-|AF2||=2a-------------------------(1)
由因为，tan∠AF1F2*tan∠AF2F1=-1
所以，AF1⊥AF2
所以 ，|AF1|²+|AF2|²=(2c)²--------------------------------(2)
(2)-(1)² 得：2|AF1|*|AF2|=4(c²-a²) 即：|AF1|*|AF2|/2=b²
由因为，△AF2F1的面积为1 ，即：△AF2F1的面积=|AF1|*|AF2|/2=1
所以，b²=1
所以，x²\a²-y²=1 ， 即： x²－a²y²=a²
因为，tan∠AF1F2=1\2,tan∠AF2F1=-2
所以，y/(x+c)=1/2, ----------(3) , y/(x-c)=-2---------------(4)
(3)÷(4)得：(x-c)/(x+c)=－1/4
解之，x=3c/5 , 再将x=3c/5代入(3)得：y=4c/5
最后，将x=3c/5和y=4c/5 代入到 x²－a²y²=a² 得：9c²-16a²c²-25a²=0
因为，c²=a²+b²=a²+1
所以， 16(a²)²+32a²-9=0 ，即： (4a²-1)(4a²+9)=0
所以， a²=1/4
所以，x²\(1/4)-y²=1 即：4x²-y²=1 为所求的双曲线。

Answer 3

解：设A(x,y), F1(-c,0),F2(c,0)
tan∠AF1F2=y/(|c|+x)=1/2, y=(c+x)/2 (1)
tan∠AF2F1=y/(c-x)=-2, y=-2(c-x) (2)
(1)=(2): c+x=-4c+4x, 3x=5c,
又，S△AF2F1=(1/2)*2c*y=1.
2cy=2, cy=1. c=1/y.
3x=5*(1/y).
∴3xy=5.
xy=5/3 ----即为所求。