Question

已知椭圆中心在原点,左右焦点f1,f2在x轴上,直线l过焦点f1,且与x轴正向夹角为π/3,

已知椭圆中心在原点，左右焦点f1,f2在x轴上，直线l过焦点f1，且与x轴正向夹角为π/3,直线l交椭圆于A,B两点，|AB|=8（根号2），点p为椭圆上的动点，角f1pf2的最大值为90°，求椭圆方程

Answer 1

设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，F1(-c,0)
∵直线L过焦点F1且与X轴正向夹角为π/3, ∴直线k=根号3 直线方程可设为y=根号3（x+c)
∠F1PF2为最大角90°，所以△F1PF2此时为等腰RT△,∴a^2=2b^2=2c^2
联立直线方程与椭圆方程后在与a^2=2b^2=2c^2联立，可得7x^2+12bx+4b^2=0
由弦长公式可知要利用韦达定理，得x1+x2=(-12b/7) x1x2=(4b^2)/7
结合弦长公式|AB|=根号{（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2] }=8（根号2)得b^2=49
又a^2=2b^2=98
∴椭圆方程为x^2/98+y^2/49=1

Answer 2

设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,焦距2c,左焦点F1(-c,0),直线L斜率根3，所以L:y=根3*(x+c)
又有当P在短轴顶点时∠F1PF2为最大角90°，所以△F1PF2此时为等腰RT△,所以可得a=根2倍b=根2倍c,所以a^2=2b^2=2c^2.
将直线方程与椭圆方程联立,代入后整理为(3a^2+b^2)x+6a^2cx+3a^2c^2-a^2b^2=0
将a^2=2b^2=2c^2代入后为7b^2x^2+12b^3x+4b^4=0
利用弦长公式即弦长h=根号[(1+k^2)(x1+x2)^2-4x1x2]=8倍根2,其中k=根3,x1+x2=-12b/7,x1x2=4b^2/7.
代入后可解得b^2=1,所以c^2=1,a^2=2
即所求椭圆方程为x^2/2+y^2=1