Question

定积分证明

只问图片中最后一道题目。给个思路就行。我觉得应该用泰勒公式展开，再积分。但是弄不掉一阶导数和余项。谢谢

Answer 1

证明：f(x)在[0,1]有二阶连续导数
1/2∫(0到1) x(1-x)f"(x)dx
=1/2∫(0到1) x(1-x)df'(x)
=1/2[x(1-x)f'(x)|(0到1)-∫(0到1) f'(x)dx(1-x)]
=1/2∫(0到1) (2x-1)f'(x)dx
=1/2∫(0到1) (2x-1)df(x)
=1/2[(2x-1)f(x)|(0到1)-∫(0到1) f(x)dx(2x-1)]
=1/2[f(1)+f(0)-2∫(0到1) f(x)dx]
=1/2[f(1)+f(0)]-∫(0到1) f(x)dx
所以
∫(0到1) f(x)dx=1/2[f(1)+f(0)]-1/2∫(0到1) x(1-x)f"(x)dx