Question

急！高二的一道数学题目

已知不论b取何实数，直线Y=KX+b与双曲线X^2-2Y^2=1总有公共点，试求实数K的取值范围

Answer 1

方法1：画出图像，K的范围应该在双曲线的渐近线斜率之间。-√2/2<k<√2/2。
方法2：把直线方程带入双曲线方程，得到一个一元二次方程。有公共点，所以△≥0，同时二次项系数（1-2k^2）≠0。解得： -√2/2<k<√2/2。

Answer 2

第一个式子代入第二个式子成为一个关于x的二元一次方程，判别式大于等于0, 即有公共点 然后能得一个关于b的方程（含k的式子），设该方程等0，判别式小于零 得k的取值范围

Answer 3

Y=KX+b代入X^2-2Y^2=1
得：（1-2k2)x2-4kbx+1-b2=0
不论b取何实数,总有公共点,说明上式X总有实数解
当1-2k2=0，k=±√2/2时，-4kbx+1-b2=0，x有解
当1-2k2≠0，∆≥0得k2≥(1-b2)/(2b2+2)=1/2[1-2/(1/b2+1)]