Question

已知y=1/2x^2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=1/2x-2,连接AC，问△ABC内部

已知y=1/2x^2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=1/2x-2,连接AC，问△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

因为B、C两点在直线y=1/2x-2上，所以B（4, 0）、C（0，-2）求出b=-3/2，c=-2（注：简单的代入求值不在多说）
所以A(-1,0)，B（4, 0），C（0，-2）
求得直线AC： -2x-y-2=0
直线BC： x-2y-2=0
因为△ABC是直角三角形，且角c等于90度。（很简单，自己判断下）
所以设Dx，0）在x轴上，则点D到直线AC,线BC的距离分别为
d1= |-2x-2| / 根号5
d2= |x-4| /根号5
所以矩形DEFC的面积为d1*d2=| （-2x-2）*（x-4）| /5=| -2x^2+6x+8| /5
求得当x=3/2时，有s最大值为25/2。所以D（3/2,0）
设点E在边AC上，点F在边BC上，则E（x1，-2x1-2），点F（x2,1/2x2-2）
因为向量AC=（1，-2），向量DE=（x1，-2x1-2）
所以向量AC*向量DE=x1-2(-2x1-2）=0求得E（-4/5，-2/5）(注：有垂直得到）
同理求得F（-4/5，-12/5）
所以D（3/2,0）；E（-4/5，-2/5）；F（-4/5，-12/5）
看下吧，一个字一个字打的，手都酸了。

Answer 2

y=1/2x-2
得B(4,0) , C(0,-2)
y=1/2x^2+bx+c
得1/2X16+4b+c=0 4b+c=-8
c=-2
b=-3/2
y=1/2x^2-3/2 x-2 与x轴交于A、B两点
x²-3x-4=0
（x-4）（x+1)=0
得A(-1,0) B(4,0)
两点间的距离公式
|AB|=5 |BC|=√20 |AC|=√5
|AB|²=|AC|²+|BC|²
△ABC以C为直角顶点的直角三角形
设AB边上的矩形顶点的坐标E(e,0)
垂直直线y=1/2x-2的方程为y=-2x+2e
两直线方程相交得 F点的坐标
x=（4+4e）/5 y=（2e-8）/5
|FC|²=（4+4e）²/25 + （2+2e）²/25
|EF|²=（4-e）²/25 + （2e-8）²/25
矩形DEFC的面积为
|FC|X|EF|=2/5 X|e+1|X|e-4|=2/5 X|（e²-3e-4）|=2/5 X| 〔（e-3/2）²-25/4〕|
当e=3/2时，面积最大
所以，在AB边上的矩形顶点的坐标是E（3/2,0）